Hukum Gravitasi Universal
Kita dapat menjabarkan, dengan cara yang sederhana, hukum
gravitasi universal dengan memulainya dari fakta-fakta empiris yang telah ditemuka Kepler. Untuk memudahkan analisa kita anggap bahwa
planet-planet bergerak dalam lintasan yang berbentuk lingkaran
dengan jejari r, dengan kelajuan konstan v.
Karena planet bergerak
dalam lintasan lingkaran maka planet mengalami percepatan
sentripetal yang besarnya diberikan oleh
dengan T adalah periode planet mengelilingi matahari. Percepatan ini
tentunya disebabkan oleh suatu gaya yang mengarah ke pusat
lingkaran (ke matahari). Besar gaya ini tentunya sama dengan massa
planet m dikali percepatan sentripetalnya, sehingga besar gaya tadi
dapat dirumuskan sebagai:
Hukum Kepler ketiga dapat kita tuliskan sebagai :
dengan k adalah suatu konstanta kesebandinga. Dengan persamaan
hukum Kepler ketiga ini, besar gaya pada pers. (11.2) dapat ditulis
sebagai
dengan k0 adalah suatu konstanta. Karena gaya ini mengarah ke
pusat lingkaran, yaitu ke matahari, tentunya logis bila dianggap bahwa
gaya tersebut disebabkan oleh matahari.
Berdasarkan hukum ketiga Newton, tentunya akan ada gaya
juga yang bekerja pada matahari oleh planet, yang besarnya sama
dengan gaya di pers. (11.4). Tetapi karena sekarang bekerja pada
matahari, tentunya konstanta k0 di pers. (11.4) mengandung massa
matahari M sehingga logis bila diasumsikan bahwa terdapat gaya yang saling tarik menarik antara planet dan matahari yang besarnya
diberikan oleh :
Newton, setelah mengamati hal yang sama pada bulan dan pada
bendabenda yang jatuh bebas di permukaan bumi, menyimpulkan
bahwa gaya tarik menarik tadi berlaku secara universal untuk
sembarang benda. Gaya tadi kemudian dinamai sebagai gaya
gravitasi. Jadi antara dua benda bermassa m1 dan m2 yang terpisah
sejauh r terdapat gaya gravitasi yang perumusannya diberikan oleh :
dengan ˆr12 adalah vektor satuan yang berarah dari benda pertama ke
benda kedua. (Notasi 12, berarti pada benda pertama oleh benda
kedua).
Konstanta G dalam persamaan gravitasi universal, dapat ditentukan
melalui eksperimen. Pengukuran yang teliti untuk nilai G dilakukan
oleh Cavendish. Sekarang nilai konstanta gravitasi universal diberikan
oleh
Dalam penjabaran di atas, diasumsikan bahwa benda pertama
dan kedua adalah suatu titik massa. Untuk benda yang besar, yang
tidak dapat dianggap sebagai titik massa maka sumbangan dari
masing-masing elemen massa harus diperhitungkan.
Untuk itu
diperlukan perhitungan-perhitungan kalkulus integral. Salah satu hasil
capaian Newton, dia berhasil menunjukkan, dengan bantuan kalkulus
integral, bahwa sebuah benda berbentuk bola (juga kulit bola) dengan
distribusi massa yang homogen, akan memberikan gaya gravitasi ada
sebuah titik massa di luar bola tadi dengan massa bola seolah-olah
terkonsentrasi pada titik pusat bola.
Dengan ini kita dapat misalnya menganggap gaya gravitasi bumi seolah-olah disebabkan oleh sebuah
titik massa yang berada pada pusat bumi.
Hukum Kepler kedua, untuk kasus lintasan planet yang
berbentuk lingkaran, hanya menunjukkan bahwa kelajuan planet
mengelilingi matahari konstan.
Tetapi untuk kasus lintasan yang
sesungguhnya, yaitu yang berbentuk elips, hukum kedua Kepler
menunjukkan tentang kekekalan momentum sudut. Lihat gambar
Daerah yang disapu oleh garis yang menghubungkan planet dengan
matahari dalam selang waktu ∆t diberikan oleh :
sehingga pernyataan bahwa untuk selang waktu yang sama daerah
yang disapu sama, sama dengan menyatakan bahwa besaran berikut
ini konstan
Tetapi bila ini kita kalikan dengan massa planet, akan kita
dapatkan bahwa besaran m!r2 yang tidak lain sama dengan besar total
momentum sudut sistem (dengan matahari sebagai titik referensi).
Jadi dalam sistem planet matahari, gaya gravitasi tidak menimbulkan
perubahan momentum sudut.
Tanda minus dalam gaya di atas karena arah gayanya adalah ke
pusat koordinat. Jelas dari hasil di atas bahwa gaya gravitasi adalah gaya konservatif. Karena itu kita dapat mendefinisikan konsep energi
potensial gravitasi melalui
Bila kita asumsikan ra berada pada jauh tak hingga, dan rb = r, dan
diasumsikan pada titik jauh tak hingga potensial gravitasinya lenyap
(=nol), maka kita dapatkan
Untuk suatu ketiggian dekat permukaan bumi, maka kita pilih pada
pers. (11.13) ra = R, jejari bumi (= jarak permukaan bumi dari
pusatnya), dan rb = R + h. Kemudian diasumsikan bahwa U(R) = 0,
maka kita peroleh energi potensial gravitasinya
Tetapi besaran GM/R2 tidak lain dari percepatan gravitasi bumi g,
sehingga untuk ketingggian dekat permukaan bumi
